Soit \(F\) la fonction correspondant à un changement de coordonnées polaires : $$F:\begin{align}{\Bbb R}_+\times[0,2\pi[&\longrightarrow{\Bbb R}^2\\ (r,\theta)&\longmapsto(r\cos\theta,r\sin\theta)\end{align}$$
Calculer la matrice jacobienne de \(F\)

$$J_F=\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}$$

(Système de coordonnées Polaires, Matrice de rotation (Dans le plan))

Soit $$F:{\begin{align}{\Bbb R}^2&\longrightarrow{\Bbb R}^2\\ (x,y)&\longmapsto(x+y,e^{2x-y})\end{align}}\quad\text{ et }\quad G:\begin{array}{}{\Bbb R}^2\longrightarrow{\Bbb R}\\ (x,y)\longmapsto(xy,y\sin x,x^2)\end{array}$$
Calculer la matrice jacobienne de \(H=G\circ F\)

$$J_F(x,y)=\begin{pmatrix}1&1\\ 2e^{2x-y}&-e^{2x-y}\end{pmatrix}\quad\text{ et }\quad J_{G}(x,y)=\begin{pmatrix} y&x\\ y\cos x&\sin x\\ 2x&0\end{pmatrix}$$

$$J_G(F(x,y))=J_G(x+y,e^{2x-y})=\begin{pmatrix} e^{2x-y}&x+y\\ e^{2x-y}\cos(x+y)&\sin(x+y)\\ 2(x+y)&0\end{pmatrix}$$

On a donc : $$\begin{align} J_H(x,y)&=J_G(F(x,y))\cdot J_F(x,y)\\ &=\begin{pmatrix} e^{2x-y}&x+y\\ e^{2x-y}\cos(x+y)&\sin(x+y)\\ 2(x+y)&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\ 2e^{2x-y}&-e^{2x-y}\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}(1+2x+2y)e^{2x-y}&(1-x-y)e^{2x-y}\\ (\cos(x+y)+2\sin(x+y))e^{2x-y}&\;\\ \;&\;\end{pmatrix}\end{align}$$